Sezione aurea nella musica: da Debussy ai Tool

Vi siete mai chiesti se esiste una connessione tra la matematica e la musica? La risposta è sì, e uno degli esempi più affascinanti è l’utilizzo della sequenza di Fibonacci nella musica. In questo articolo, scopriremo come questa serie numerica, ideata nel XIII secolo da un matematico italiano, si intrecci con il mondo delle sette note, influenzando la composizione di brani musicali, la costruzione di strumenti e persino la percezione dell’armonia. Partiremo dalle origini matematiche, per poi esplorare il concetto di sezione aurea e infine addentrarci negli esempi concreti, analizzando come artisti del calibro di Claude Debussy, i Genesis e i Tool abbiano utilizzato la sequenza di Fibonacci nella musica.

La successione di Fibonacci: una scoperta del XIII secolo

Leonardo Fibonacci fu un matematico italiano del XIII secolo che per spiegare l’andamento della crescita di una popolazione di conigli inventò la cosiddetta “successione di Fibonacci”. Questa successione numerica, apparentemente semplice, nasconde in realtà proprietà matematiche sorprendenti e un legame profondo con il concetto di armonia ed equilibrio, ed è strettamente legata alla sezione aurea.

Leonardo Fibonacci e la crescita dei conigli

L’idea di Fibonacci nacque da un problema pratico: capire come si evolvesse una popolazione di conigli partendo da una singola coppia. Attraverso un modello matematico, Fibonacci elaborò una sequenza di numeri che descriveva la crescita mensile della popolazione. La cosa straordinaria è che questa sequenza, nata da un’osservazione apparentemente banale, si rivelò avere implicazioni molto più ampie, applicabili in svariati campi, tra cui la botanica, l’arte e, come vedremo, la musica. Il suo studio ha cambiato per sempre il modo in cui intendiamo la matematica.

La sequenza di Fibonacci: come si costruisce

Senza entrare nelle oscure viscere del “matematichese”, per ricostruire questa serie di elementi basta partire da 0 e 1 e aggiungere i numeri successivi per addizione col termine precedente. In pratica, ogni nuovo termine della sequenza è la somma dei due termini che lo precedono. Una regola semplice che genera una sequenza numerica dalle proprietà uniche e affascinanti. La semplicità di questa regola è inversamente proporzionale alla complessità e alla profondità delle implicazioni che la sequenza stessa porta con sé.

Quindi, seguendo le regole imposte da questo perverso giochetto matematico dopo 0 ed 1, si arriverà a 2 (1+1), a 3 (2+1), a 5 (3+2), e così via, verso l’infinito (e oltre). La successione di Fibonacci, apparentemente casuale, nasconde uno schema ben preciso, destinato a ripetersi all’infinito.

Il risultato di tutto ciò è una infinita cascata di numeri.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, etc, etc.

Apparentemente sembrano non avere nessun significato particolare, o quantomeno niente che possa interessare né me né chi sta leggendo questo articolo. Eppure, questi numeri, apparentemente privi di significato, nascondono un segreto che ha affascinato matematici, artisti e musicisti per secoli.

In realtà proprio quei numeri nascondono una proporzione le cui proprietà per molti assunsero caratteristiche al limite del divino.

Il rapporto aureo: la divina proporzione tra bellezza e armonia

Infatti dividendo ogni termine per quello precedente (ad esempio 2 con 1, 3 con 2, 5 con 3, etc, etc), ci si avvicina gradualmente (nel suddetto “matematichese” dovremmo dire “si tende”) ad un misterioso numero, quel 1.618 che è ai più noto come “numero aureo”. Questo numero, noto anche come phi (Φ), rappresenta una proporzione matematica che si ritrova in natura, nell’arte e nell’architettura, ed è strettamente legato alla successione di Fibonacci.

Il rapporto così ottenuto viene considerato come valore ideale di bellezza e armonia. Ma perché questa proporzione è considerata così speciale? La risposta risiede probabilmente nella sua frequente presenza in natura, nelle spirali delle conchiglie, nella disposizione dei petali dei fiori, nelle proporzioni del corpo umano. La sezione aurea sembra essere una sorta di “firma” della natura, un principio ordinatore che conferisce equilibrio e piacevolezza estetica.

Sezione aurea: cos’è e perché è importante

Due grandezze, distribuendosi in modo tale da rispettare le proporzioni auree, è come se acquisissero una superiorità estetica che le renda inconfutabilmente armoniche. La sezione aurea, o rapporto aureo, è una proporzione definita dal numero 1,618… . Si ottiene quando il rapporto tra la somma di due grandezze e la maggiore di esse è uguale al rapporto tra la maggiore e la minore. Questa proporzione è stata considerata per secoli un canone di bellezza e armonia, un ideale estetico a cui aspirare. Artisti e architetti hanno utilizzato la sezione aurea nelle loro opere per creare un senso di equilibrio e di piacevolezza visiva, ricercando l’armonia perfetta.

La sezione aurea nell’arte: da Leonardo da Vinci a Le Corbusier

Per avere un’idea basti pensare alla Gioconda o a l’Uomo Vitruviano di Leonardo da Vinci, entrambi raffigurati sfruttando la sezione aurea. Anche in architettura la sezione aurea ha trovato svariate applicazioni. Un esempio lampante è quello di Le Corbusier, il quale addirittura decise di progettare edifici i cui interni rispettassero fedelmente le suddette proporzioni con l’idea di creare ambienti domestici che fossero non solo funzionali ma che trasmettessero anche una sensazione di armonia e di benessere. L’utilizzo della sezione aurea in architettura, secondo Le Corbusier, poteva migliorare la qualità della vita delle persone, creando spazi abitativi più armoniosi e piacevoli, e la sua influenza è ancora oggi visibile in molte opere architettoniche.

L’applicazione della sequenza di Fibonacci nella musica

Una volta constatata la possibilità di poter utilizzare il rapporto aureo in diversi campi, in che modo si arriva all’applicazione nella musica? Esiste una connessione tra la sequenza di Fibonacci, la sezione aurea e il mondo delle sette note? La risposta, come vedremo, è affermativa. La musica, con la sua struttura matematica basata su intervalli, ritmi e armonie, si presta in modo naturale all’applicazione di principi matematici come quelli espressi dalla successione di Fibonacci e dal rapporto aureo.

Strumenti musicali e rapporto aureo: il caso dei violini

Innanzitutto gli strumenti: le componenti di molti violini per esempio sono costruite rispettando il rapporto aureo e, anche se non c’è una evidenza scientifica di ciò, il motivo sarebbe che questa disposizione renda ottimale l’acustica. La forma e le proporzioni di un violino, secondo alcuni liutai, sarebbero determinate dalla sezione aurea per ottenere un suono più armonioso e risonante. Sebbene non ci siano prove scientifiche definitive, l’idea che il rapporto aureo possa influenzare la qualità del suono di uno strumento musicale è affascinante e suggestiva, e affonda le sue radici in secoli di tradizione liutaria, e molti costruttori ancora oggi si affidano a queste proporzioni nella realizzazione dei loro strumenti.

La sequenza di Fibonacci nel pianoforte: la struttura delle ottave

Con il pianoforte il riferimento risulta ancor più evidente. I tasti bianchi e neri della tastiera infatti vengono idealmente suddivisi in ottave, ogni ottava è composta da tredici tasti, di cui otto bianchi e cinque neri a loro volta suddivisi in gruppi di due e tre. Tredici, otto, cinque, tre, due… numeri che, come abbiamo visto, appartengono alla sequenza di Fibonacci. La struttura stessa della tastiera del pianoforte sembra riflettere la successione numerica ideata da Fibonacci, una coincidenza che ha alimentato la curiosità di molti musicisti e teorici musicali, aprendo la strada a numerose sperimentazioni.

Tredici, otto , cinque, tre, due … se si dà uno sguardo a tutti quei numeri buttati a inizio pagina qualcosa inizia a tornare. Siccome la cosa inizia a diventare sospetta forse vale la pena approfondire.

Come “suonare” la serie di Fibonacci

Innanzitutto, il primo dubbio, qualora qualcuno avesse la malsana idea di voler “suonare” la serie di Fibonacci, potrebbe farlo? Si può suonare una successione di infiniti termini? È possibile tradurre in musica la sequenza numerica di Fibonacci? La risposta è sì, e il risultato è sorprendentemente armonioso.

Si può fare eccome, basta armarsi di un pianoforte ed una mostruosa voglia di volerlo suonare, per averne una prova di ciò basta cliccare qui. Assegnando ad ogni numero della sequenza una nota musicale, è possibile creare una melodia basata sulla successione di Fibonacci. Il video dimostra come la sequenza, tradotta in musica, generi una melodia piacevole e suggestiva, una melodia che, pur essendo basata su una struttura matematica, possiede una sua intrinseca musicalità.

Artisti che hanno usato la sequenza di Fibonacci nella musica

Quindi, una volta che si è capito che le note di un pianoforte sono tutte disposte seguendo il rapporto aureo e che quest’ultimo può essere addirittura suonato, il dubbio che sorge spontaneo è: qualche artista ha veramente pensato di fare ciò?

Anche in questo caso la risposta è si.

Mi limiterò a riportare gli artisti che consciamente hanno deciso di affidarsi in fase di composizione ai numeri della serie di Fibonacci, perché i casi di artisti che ne hanno fatto un uso inconscio è gigantesco. Molti compositori, sia del passato che contemporanei, hanno utilizzato la sequenza di Fibonacci e la sezione aurea come strumento compositivo, consapevolmente o inconsapevolmente. Questo dimostra come la matematica possa essere una fonte di ispirazione per la creazione musicale, un linguaggio universale che unisce numeri e note.

Questo è possibile perché la musica è anche matematica, il suo linguaggio è fatto di note, accordi e battute (che in questo caso non fanno ridere, perché sono semplicemente l’insieme di valori tra due linee verticali di un pentagramma). Per questo si trovano un’infinità di brani antichi e moderni con una suddivisione metrica che ripercorre inconsciamente il rapporto aureo. La musica, con la sua struttura basata su intervalli, ritmi e armonie, è intrinsecamente matematica. Note, accordi e battute possono essere espressi attraverso numeri e proporzioni, e la sequenza di Fibonacci, con il suo legame con il rapporto aureo, si inserisce perfettamente in questo contesto, offrendo ai musicisti uno strumento in più per esprimere la propria creatività.

L’ossessione di Claude Debussy per il “numero divino”

Nell’ambito della musica classica il caso più rilevante è sicuramente quello di Claude Debussy. Il famosissimo pianista nel 1903 scriveva ad un suo editore:

Lei vedrà, alla pagina 8 di “Jardins sous la Pluie” che manca una battuta; è del resto una mia dimenticanza, perché non è nel manoscritto. Eppure, è necessaria, per il numero; il divino numero […].

In effetti Debussy una sorta di ossessione per quello che lui chiamava il “numero divino” ce l’aveva. Questa lettera rivela come Debussy fosse consapevole dell’importanza delle proporzioni matematiche nella musica e come utilizzasse consciamente la sezione aurea nelle sue composizioni. Un’ossessione che, come vedremo, si traduce in brani musicali di straordinaria bellezza e complessità, e che influenza ancora oggi il suo modo di fare musica.

“Cathédrale Engloutie”: un esempio di sezione aurea in Debussy

Un suo brano, “Cathédrale Engloutie”, presenta 89 battute. Alla battuta 68 il brano rallenta dimezzando la sua “velocità” per le restanti 21, l’effetto generato da questo cambio di passo induce l’ascoltatore a percepire le prime 68 (più rapide) come fossero la metà, 34, rendendo così il numero di battute percepite complessivamente 55 (34+21). Analizzando la struttura di “Cathédrale Engloutie”, si scopre che Debussy ha utilizzato la sequenza di Fibonacci per suddividere le sezioni del brano. Il rapporto tra le diverse sezioni rispecchia la sezione aurea, creando un senso di proporzione e di armonia che l’ascoltatore percepisce a livello inconscio.

Tornando alla famosa cascata di numeri precedente si nota come 55 sia la sezione aurea di 89, ovvero il numero ad esso precedente nella serie di Fibonacci.

I Genesis e l’uso della successione di Fibonacci in “Firth of Fifth”

Non mancano esempi nemmeno nella musica “moderna”. I Genesis di Peter Gabriel per esempio in ”Firth of Fifth” realizzano assoli solo di 55, 34 o 13 battute, ormai avendo acquisito una certa familiarità con la suddetta cascata di numeri non sarà nemmeno necessario dover ricordare che sono tutti numeri della serie di Fibonacci. Anche nel rock progressivo dei Genesis troviamo tracce della sequenza di Fibonacci. In “Firth of Fifth”, gli assoli sono strutturati in modo da rispettare le proporzioni numeriche della successione, dimostrando come la sequenza di Fibonacci possa essere applicata anche a generi musicali apparentemente lontani dalla musica classica, influenzando la musica a 360 gradi.

Altri esempi: Deep Purple, Dream Theater e la matematica della musica

Continui riferimenti si trovano anche in “Child in Time” dei Deep Purple, in tutto il disco “Octavarium” dei Dream Theater o ancora in “Lateralus” dei Tool. Questi sono solo alcuni esempi di come la sequenza di Fibonacci sia stata utilizzata nella musica moderna. Molti altri artisti, in modo più o meno consapevole, hanno adottato principi matematici simili nelle loro composizioni. La matematica, lungi dall’essere un’arida disciplina, si rivela una fonte di ispirazione e uno strumento creativo per i musicisti di tutti i generi, offrendo loro nuove possibilità espressive, e nuove frontiere da esplorare.

“Lateralus” dei Tool: un trip lisergico a ritmo di Fibonacci

Quest’ultimo brano merita una menzione speciale, perché qui l’utilizzo della serie di Fibonacci non si ferma alla ritmica ma si estende anche alla struttura del testo. Di seguito se ne cita una parte, attenzione ai numeri in parentesi quadra, rappresentano le sillabe utilizzate per ogni verso. “Lateralus” dei Tool rappresenta un caso emblematico di applicazione consapevole e strutturata della sequenza di Fibonacci in un brano musicale. Non solo la ritmica, ma anche la metrica del testo segue la successione numerica, creando un intreccio affascinante tra musica e matematica, tra melodia e struttura.

[1] black
[1] then
[2] white are
[3] all I see
[5] in my infancy
[8] red and yellow then came to be
[5] reaching out to me
[3] lets me see
[2] there is
[1] so
[1] much
[2] more and
[3] beckons me
[5] to look through to these
[8] infinite possibilities
[13] as below so above and beyond I imagine
[8] drawn beyond the lines of reason
[5] push the envelope
[3] watch it bend

La struttura del testo di “Lateralus” e la serie di Fibonacci

In pratica viene gradualmente ripercorsa la serie in senso sia ascendente che discendente per tutta la durata del pezzo. La struttura del testo di “Lateralus” segue la sequenza di Fibonacci in modo ascendente e poi discendente, creando un effetto di espansione e contrazione che si riflette anche nella musica. Ogni verso del brano ha un numero di sillabe corrispondente a un numero della successione, un esempio straordinario di come la matematica possa essere utilizzata per dare forma a un’opera d’arte, di come i numeri possano trasformarsi in parole e le parole in musica, dando vita a qualcosa di unico.

“Lateralus” dei Tool: un trip lisergico a ritmo di Fibonacci

Quest’ultimo brano merita una menzione speciale, perché qui l’utilizzo della serie di Fibonacci non si ferma alla ritmica ma si estende anche alla struttura del testo. Di seguito se ne cita una parte, attenzione ai numeri in parentesi quadra, rappresentano le sillabe utilizzate per ogni verso. “Lateralus” dei Tool rappresenta un caso emblematico di applicazione consapevole e strutturata della sequenza di Fibonacci in un brano musicale. Non solo la ritmica, ma anche la metrica del testo segue la successione numerica, creando un intreccio affascinante tra musica e matematica, tra melodia e struttura.

[1] black
[1] then
[2] white are
[3] all I see
[5] in my infancy
[8] red and yellow then came to be
[5] reaching out to me
[3] lets me see
[2] there is
[1] so
[1] much
[2] more and
[3] beckons me
[5] to look through to these
[8] infinite possibilities
[13] as below so above and beyond I imagine
[8] drawn beyond the lines of reason
[5] push the envelope
[3] watch it bend

LSD, Alex Grey e la nascita di un brano “aureo”

Di incredibile c’è che un brano costruito in modo così scientifico sia nato attraverso un trip indotto da LSD. Il cantante della band, Maynard James Keenan, ne ha sempre fatto un uso smodato, e a quanto pare anche Alex Grey, il pittore psichedelico che realizzò l’immagine della copertina dell’album. Quest’ultimo, sotto l’effetto di allucinogeni, vide una spirale che cambiava colore, e da lì partì il tutto. L’ispirazione per “Lateralus” nacque in un contesto creativo molto particolare. Alex Grey, noto per la sua arte psichedelica, ebbe una visione durante un’esperienza con l’LSD: una spirale multicolore che si trasformava e si evolveva. Questa visione, vivida e carica di simbolismo, ispirò la copertina dell’album e, indirettamente, anche la struttura del brano, basata sulla sequenza di Fibonacci che, come sappiamo, è strettamente legata al concetto di spirale. La spirale, d’altronde, è una forma geometrica ricorrente in natura e spesso associata alla sezione aurea. Per questo motivo molti fan del gruppo, da quel momento, decisero di ascoltarlo solo sotto effetto di LSD. Esperienze del genere con allucinogeni hanno da sempre ispirato la composizione di opere, soprattutto in ambito psichedelico. L’arte psichedelica di Alex Grey, caratterizzata da immagini visionarie e dettagliate, si sposa perfettamente con la musica complessa e stratificata dei Tool, creando un’esperienza multisensoriale che coinvolge vista e udito. Sebbene non sia possibile stabilire una connessione diretta e scientifica tra l’uso di LSD e la creatività, è interessante notare come, in questo caso, un’esperienza psichedelica abbia contribuito alla nascita di un brano così complesso e ricco di significati, che si ricollega alla sezione aurea e alla matematica.

A saperlo che per capirci qualcosa sarebbe bastata solo una mezza lezione su un tipo che cercò di quantizzare la riproduzione di un gruppo di conigli…

Fonte immagine: Wikipedia