Il paradosso del barbiere: cos’è?

Il termine paradosso, dal greco parádoxos composto di para- nel senso di contrapposizione e dóxa ‘opinione’, indica un’affermazione che, per il suo contenuto o per la forma in cui è espressa, appare contraria all’opinione comune o l’esperienza quotidiana. Molti conoscono il paradosso di Zenone su Achille e la tartaruga, quello dei gemelli, o quello del gatto di Schrödinger, ma forse pochi sanno del paradosso del barbiere.

Il testo del paradosso

Agli inizi del ventesimo secolo, il filosofo e matematico inglese Bertrand Arthur William Russell (1872-1970) stava lavorando alla teoria degli insiemi quando formulò quello che viene ricordato con il nome di paradosso del barbiere. L’enunciato del paradosso è il seguente: in un villaggio sperduto in cui tutti gli uomini si fanno la barba vive un solo barbiere, a sua volta un uomo ben sbarbato. Il barbiere rade tutti e solo gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Chi rade la barba al barbiere?

La soluzione, o quasi

Il paradosso del barbiere sembra quasi uno scioglilingua oltre che un rompicapo, ma per comprenderlo basta iniziare a schematizzare la proposizione. Si prende in considerazione un villaggio in cui è presente un solo barbiere, la popolazione invece si può dividere in due gruppi: un primo gruppo composto da coloro i quali si radono da soli, e un secondo gruppo, di cui fanno parte tutti quelli che non si radono da soli. Il barbiere rade sicuramente tutti gli uomini del secondo insieme, ma a quale gruppo appartiene lui? Se appartiene al primo gruppo, il barbiere rade sé stesso. Ma ciò non è possibile poiché, in base a quanto è stato detto all’inizio, il barbiere rade solo coloro che non si radono da soli; invece, se il barbiere fa parte del secondo gruppo, egli non rade sé stesso. Ma anche questo va contro l’ipotesi in quanto, dato che il barbiere rade tutti quelli che non si radono da soli, dovrebbe radere anche sé stesso.

La contraddizione del paradosso del barbiere rimanda ad un problema di insiemistica matematica, in particolare la questione dell’insieme degli insiemi che non appartengono a sé stessi. Facendo un passo indietro, in matematica un insieme è un raggruppamento i cui elementi sono distinti l’uno dall’altro ed è possibile stabilire con sicurezza se un determinato elemento è compreso nell’insieme. Gli insiemi si rappresentano graficamente con i diagrammi di Venn, ossia delle linee chiuse al cui interno sono indicati gli elementi usando una lettera minuscola dell’alfabeto, all’esterno della linea invece si scrive una lettera maiuscola che conferisce il nome all’insieme. Gli insiemi sono suddivisi in due categorie: quelli che contengono sé stessi come elemento (ad esempio l’insieme di tutti i concetti astratti è a sua volta un concetto astratto), e quelli che non contengono sé stessi come elemento (per esempio l’insieme di tutti i numeri reali non è un numero reale). La domanda che sorge a questo punto è: se un insieme, chiamato ad esempio insieme A, contiene sé stesso, allora A è, per definizione, uno degli insiemi che non contengono sé stessi come elemento; al contrario, se A non contiene sé stesso allora non è uno degli insiemi che non contengono sé stessi come elemento.

Di conseguenza, non si può stabilire se l’insieme di tutti gli insiemi che non contengono sé stessi come elemento appartenga alla prima oppure alla seconda categoria e lo stesso accade al protagonista del paradosso del barbiere.

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