Il paradosso di Achille e la tartaruga, cosa dice

Il paradosso di Achille e la tartaruga: un enigma tra filosofia e matematica

Il paradosso di Achille e la tartaruga è uno dei più celebri paradossi formulati da Zenone di Elea, filosofo greco presocratico vissuto nel V secolo a.C. Questo paradosso, apparentemente semplice, ha stimolato per secoli la riflessione di filosofi, matematici e fisici, mettendo in discussione la nostra comprensione del movimento, dello spazio e del tempo. Il paradosso di Achille e la tartaruga, infatti, non è un semplice gioco di parole, ma un’argomentazione sottile che tocca questioni profonde sulla natura dell’infinito e sulla possibilità di descrivere la realtà attraverso la logica e la matematica. Attraverso la sua formulazione, Zenone ci conduce in un viaggio intellettuale che sfida il senso comune e ci invita a riconsiderare concetti apparentemente ovvi. In questo articolo, analizzeremo il paradosso, ne spiegheremo le formulazioni e ne discuteremo le soluzioni proposte, mostrando come un’apparente assurdità logica possa in realtà celare profonde intuizioni sulla natura del mondo.

Cos’è un paradosso? Definizione ed esempi

Il termine paradosso deriva dal greco antico pará, che significa “contro”, e dóxa, che significa “opinione”. Un paradosso è quindi un’affermazione, una proposizione o un ragionamento che, pur partendo da premesse apparentemente vere e seguendo passaggi logici apparentemente validi, conduce a conclusioni contraddittorie, in contrasto con l’opinione comune o con l’esperienza. I paradossi possono essere utilizzati per mettere in luce i limiti del nostro ragionamento o per stimolare la riflessione su questioni complesse. Spesso un paradosso può portare sia a un ragionamento che appare fallace ma che, in realtà, deve essere accettato, sia a un ragionamento che pur apparendo corretto porta, invece, ad una contraddizione. Un esempio classico di paradosso è il “paradosso del mentitore”, in cui un individuo afferma “Io sto mentendo”: se l’affermazione è vera, allora è falsa, e se è falsa, allora è vera.

Zenone di Elea: il filosofo dei paradossi e la scuola eleatica

Zenone di Elea fu un filosofo greco presocratico, vissuto nel V secolo a.C. (circa 490-430 a.C.). Fu allievo di Parmenide, fondatore della Scuola eleatica, una corrente filosofica che sosteneva l’immutabilità e l’unità dell’essere. Zenone è noto soprattutto per i suoi paradossi, argomentazioni ingegnose con cui difendeva le tesi del suo maestro, in particolare l’impossibilità del movimento e della molteplicità. Aristotele, pur criticando le conclusioni di Zenone, lo definì l’inventore della dialettica, riconoscendogli il merito di aver introdotto un nuovo metodo di argomentazione filosofica. L’opera filosofica di Zenone non è giunta a noi: i suoi testi e il suo pensiero si conoscono solo tramite descrizioni fatte da altri filosofi del tempo, come Platone o lo stesso Aristotele.

I paradossi di Zenone contro il movimento

Zenone formulò diversi paradossi per dimostrare l’impossibilità del movimento. Oltre al paradosso di Achille e la tartaruga, sono famosi il paradosso dello stadio e il paradosso della freccia. In tutti questi paradossi, Zenone si propone di dimostrare che l’affermazione dell’esistenza del movimento genera una serie di contraddizioni logiche. Pertanto, egli sostiene che la realtà sia immobile, in linea con la dottrina di Parmenide. L’obiettivo di Zenone era quello di mostrare che i concetti di spazio, tempo e movimento, così come comunemente intesi, portano ad assurdità logiche, e che quindi la vera realtà doveva essere qualcosa di diverso da ciò che appare ai nostri sensi.

Il paradosso di Achille e la tartaruga: testo e spiegazione

Il paradosso di Achille e la tartaruga è probabilmente il più famoso tra i paradossi di Zenone. Esso immagina una gara di corsa tra l’eroe greco Achille, “piè veloce” e simbolo di velocità, come narrato anche da Omero nell’Iliade, e una tartaruga, notoriamente lenta.

Il testo del paradosso di Achille e la tartaruga in Aristotele

Il paradosso di Achille e la tartaruga ci è giunto attraverso la descrizione che ne fa Aristotele nella sua opera Fisica. Il testo di Aristotele recita:

«Il secondo argomento prende il nome “dell’‘Achille” e consiste in questo: nel momento in cui il concorrente più veloce parte dopo il concorrente più lento nella corsa, quest’ultimo non sarà mai raggiunto dal più veloce perché l’inseguitore prima sarebbe costretto a raggiungere il luogo da cui quello che fugge ha preso le mosse, e intanto, di necessità, il più lento sarà sempre un po’ più avanti.»

La spiegazione del paradosso: la divisione infinita dello spazio

Secondo la formulazione del paradosso, se Achille concede alla tartaruga un vantaggio iniziale, egli non riuscirà mai a raggiungerla. Infatti, quando Achille avrà percorso la distanza che inizialmente lo separava dalla tartaruga, questa avrà a sua volta percorso un ulteriore tratto, seppur breve. Achille dovrà quindi percorrere questo nuovo tratto, ma nel frattempo la tartaruga sarà ancora avanzata, e così via all’infinito. Il ragionamento di Zenone si basa sull’assunto che per coprire una distanza finita sia necessario percorrere prima la metà di essa, poi la metà della metà, e così via, all’infinito. Di conseguenza, il movimento sarebbe impossibile, perché richiederebbe di compiere un numero infinito di azioni in un tempo finito. Il paradosso si regge su due punti: il primo è il ragionamento di Zenone secondo cui per coprire una distanza è necessario percorrere prima la metà di quella distanza, questo fa sì che la possibilità di muoversi sia in realtà nulla, perché si passerebbe il tempo a coprire la metà della metà della distanza; il secondo sta proprio nella formulazione dell’enunciato dove non si chiede ad Achille di superare la tartaruga, ma solo di raggiungerla.

La soluzione del paradosso di Achille e la tartaruga: concetti matematici moderni

Il paradosso di Achille e la tartaruga, come gli altri paradossi di Zenone, perde la sua forza se analizzato alla luce delle moderne conoscenze matematiche. In particolare, il paradosso si basa sull’idea errata che la somma di infiniti termini debba necessariamente essere infinita.

Serie geometriche e somma di infiniti termini

In realtà, la matematica moderna ha dimostrato che la somma di infiniti termini può convergere a un valore finito. Questo è il caso delle serie geometriche, in cui ogni termine è una frazione costante del precedente. Ad esempio, la serie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … converge a 2. Nel caso del paradosso di Achille e la tartaruga, le distanze che Achille deve percorrere per raggiungere la tartaruga formano una serie geometrica decrescente. La somma di questa serie è finita, e rappresenta la distanza totale che Achille deve percorrere per raggiungere la tartaruga. Il concetto di limite, sviluppato nel calcolo infinitesimale, permette di dimostrare che Achille raggiungerà la tartaruga in un tempo finito, confutando così il paradosso. La velocità di Achille è maggiore di quella della tartaruga, e questo gli permette di colmare il vantaggio iniziale e di raggiungere (e superare) la tartaruga.

Interpretazioni e riflessioni sul paradosso di Achille e la tartaruga

Nonostante la sua apparente confutazione matematica, il paradosso di Achille e la tartaruga continua a stimolare la riflessione filosofica. Esso mette in luce la difficoltà di conciliare la nostra intuizione del movimento continuo con la sua descrizione matematica in termini di punti e istanti discreti. Il paradosso invita a riflettere sulla natura dello spazio, del tempo e dell’infinito, e sul rapporto tra la realtà fisica e la sua rappresentazione concettuale. Alcuni filosofi hanno interpretato i paradossi di Zenone come una critica alla concezione pitagorica dello spazio e del tempo, visti come composti da unità discrete e indivisibili. Altri hanno visto nei paradossi un’anticipazione di concetti matematici moderni, come quello di limite e di serie infinita. Altri ancora li hanno considerati come un esercizio di dimostrazione per assurdo, che mostra i limiti di una certa concezione ingenua del movimento e della realtà. In definitiva, il paradosso di Achille e la tartaruga rimane un enigma affascinante, che ci spinge a interrogarci sui fondamenti stessi della nostra conoscenza e sulla natura del mondo che ci circonda, stimolando ancora oggi il dibattito filosofico e scientifico, a testimonianza della sua straordinaria fecondità intellettuale.

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